Algèbre Exemples

$\sqrt{{(5 + x^{2})}^{2}} = 5 + x^{2}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{{(5 + x^{2})}^{2}}}^{2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(5 + x^{2})}^{2}}$ comme ${(5 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}$ .

${({(5 + x^{2})}^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Étape 2.2

Divisez $2$ par $2$ .

${({(5 + x^{2})}^{1})}^{2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 + x^{2})}^{1})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + x^{2})}^{1 \cdot 2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

Simplifiez ${(5 + x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.4.1.1

Réécrivez ${(5 + x^{2})}^{2}$ comme $(5 + x^{2}) (5 + x^{2})$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = (5 + x^{2}) (5 + x^{2})$

Étape 2.4.1.2

Développez $(5 + x^{2}) (5 + x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(5 + x^{2})}^{2} = 5 (5 + x^{2}) + x^{2} (5 + x^{2})$

Étape 2.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(5 + x^{2})}^{2} = 5 \cdot 5 + 5 x^{2} + x^{2} (5 + x^{2})$

Étape 2.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(5 + x^{2})}^{2} = 5 \cdot 5 + 5 x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} x^{2}$

Étape 2.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.3.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 5 x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} x^{2}$

Étape 2.4.1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 5 x^{2} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} x^{2}$

Étape 2.4.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.3.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 5 x^{2} + 5 x^{2} + x^{2 + 2}$

Étape 2.4.1.3.1.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 5 x^{2} + 5 x^{2} + x^{4}$

Étape 2.4.1.3.2

Additionnez $5 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

${(5 + x^{2})}^{2} = 25 + 10 x^{2} + x^{4}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = {(5 + x^{2})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez ${(5 + x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 0 + 0 + {(5 + x^{2})}^{2}$

Étape 3.2.2

Réécrivez ${(5 + x^{2})}^{2}$ comme $(5 + x^{2}) (5 + x^{2})$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = (5 + x^{2}) (5 + x^{2})$

Étape 3.2.3

Développez $(5 + x^{2}) (5 + x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 5 (5 + x^{2}) + x^{2} (5 + x^{2})$

Étape 3.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 5 \cdot 5 + 5 x^{2} + x^{2} (5 + x^{2})$

Étape 3.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 5 \cdot 5 + 5 x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} x^{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 5 x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} x^{2}$

Étape 3.2.4.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 5 x^{2} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} x^{2}$

Étape 3.2.4.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 5 x^{2} + 5 x^{2} + x^{2 + 2}$

Étape 3.2.4.1.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 5 x^{2} + 5 x^{2} + x^{4}$

Étape 3.2.4.2

Additionnez $5 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$25 + 10 x^{2} + x^{4} = 25 + 10 x^{2} + x^{4}$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $10 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} - 10 x^{2} = 25 + x^{4}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$25 + 10 x^{2} + x^{4} - 10 x^{2} - x^{4} = 25$

Étape 3.3.3

Associez les termes opposés dans $25 + 10 x^{2} + x^{4} - 10 x^{2} - x^{4}$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $10 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$25 + x^{4} + 0 - x^{4} = 25$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $25 + x^{4}$ et $0$ .

$25 + x^{4} - x^{4} = 25$

Étape 3.3.3.3

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$25 + 0 = 25$

Étape 3.3.3.4

Additionnez $25$ et $0$ .

$25 = 25$

Étape 3.4

Comme $25 = 25$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$