Algèbre Exemples

$\frac{x^{- 1} + y^{- 1}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x} + y^{- 1}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1.4

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1.5.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{x^{- 2} - y^{- 2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{- 2}$ comme ${(x^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{{(x^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $y^{- 2}$ comme ${(y^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{{(x^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{- 1}$ et $b = y^{- 1}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{(x^{- 1} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.3

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.4

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.5.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} (x^{- 1} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - y^{- 1})}$

Étape 2.4.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}$

Étape 2.4.9

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Étape 2.4.10

Pour écrire $- \frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}$

Étape 2.4.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.11.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}$

Étape 2.4.11.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{y x})}$

Étape 2.4.11.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{x y})}$

Étape 2.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{y + x}{x y}$ par $\frac{y - x}{x y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x y)}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x y \cdot y}}$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x^{1} y \cdot y}}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1 + 1} y \cdot y}}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y \cdot y}}$

Étape 4.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y)}}$

Étape 4.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y^{1})}}$

Étape 4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{1 + 1}}}$

Étape 4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y}}{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{(y + x) (y - x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $y + x$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{(y + x) (y - x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x y} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{y - x}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x y$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x y$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x y} \cdot \frac{x y (x y)}{y - x}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x y} \cdot \frac{x y (x y)}{y - x}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y}{y - x}$