Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x} + 2 = \sqrt{5 x - 4}$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x} = \sqrt{5 x - 4} - 2$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x)}^{1} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 x = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$ comme $(\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$ .

$2 x = (\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} (\sqrt{5 x - 4} - 2) - 2 (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{5 x - 4}$ à la puissance $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{5 x - 4}$ à la puissance $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1} {\sqrt{5 x - 4}}^{1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1 + 1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{5 x - 4}}^{2}$ comme $5 x - 4$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x - 4}$ comme ${(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x = {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x = {(5 x - 4)}^{1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$2 x = 5 x - 4 + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{5 x - 4}$ .

$2 x = 5 x - 4 - 2 \cdot \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 x = 5 x - 4 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4} + 4$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$2 x = 5 x + 0 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4}$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$2 x = 5 x - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4}$

Étape 3.3.1.3.4

Soustrayez $2 \sqrt{5 x - 4}$ de $- 2 \sqrt{5 x - 4}$ .

$2 x = 5 x - 4 \sqrt{5 x - 4}$

Étape 4

Résolvez $- 4 \sqrt{5 x - 4}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $5 x - 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x$ .

$5 x - 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 4 \sqrt{5 x - 4}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x - 5 x$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5 x$ de $2 x$ .

$- 4 \sqrt{5 x - 4} = - 3 x$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 4 \sqrt{5 x - 4})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x - 4}$ comme ${(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$16 {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 {(5 x - 4)}^{1} = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$16 (5 x - 4) = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 (5 x) + 16 \cdot - 4 = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $5$ par $16$ .

$80 x + 16 \cdot - 4 = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $16$ par $- 4$ .

$80 x - 64 = {(- 3 x)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(- 3 x)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 3 x$ .

$80 x - 64 = {(- 3)}^{2} x^{2}$

Étape 6.3.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$80 x - 64 = 9 x^{2}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$80 x - 64 - 9 x^{2} = 0$

Étape 7.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $80 x - 64 - 9 x^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 7.2.1.1.1

Déplacez $- 64$ .

$80 x - 9 x^{2} - 64 = 0$

Étape 7.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $80 x$ et $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 80 x - 64 = 0$

Étape 7.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$- (9 x^{2}) + 80 x - 64 = 0$

Étape 7.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $80 x$ .

$- (9 x^{2}) - (- 80 x) - 64 = 0$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$- (9 x^{2}) - (- 80 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Étape 7.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{2}) - (- 80 x)$ .

$- (9 x^{2} - 80 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Étape 7.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{2} - 80 x) - 1 (64)$ .

$- (9 x^{2} - 80 x + 64) = 0$

Étape 7.2.2

Factorisez.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 64 = 576$ et dont la somme est $b = - 80$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1

Factorisez $- 80$ à partir de $- 80 x$ .

$- (9 x^{2} - 80 x + 64) = 0$

Étape 7.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 80$ comme $- 8$ plus $- 72$

$- (9 x^{2} + (- 8 - 72) x + 64) = 0$

Étape 7.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (9 x^{2} - 8 x - 72 x + 64) = 0$

Étape 7.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((9 x^{2} - 8 x) - 72 x + 64) = 0$

Étape 7.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (9 x - 8) - 8 (9 x - 8)) = 0$

Étape 7.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x - 8$ .

$- ((9 x - 8) (x - 8)) = 0$

Étape 7.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (9 x - 8) (x - 8) = 0$

Étape 7.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 x - 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Étape 7.4

Définissez $9 x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $9 x - 8$ égal à $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $9 x - 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 8$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 8$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 8$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Étape 7.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Étape 7.5

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (9 x - 8) (x - 8) = 0$ vraie.

$x = \frac{8}{9}, 8$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{2 x} + 2 = \sqrt{5 x - 4}$ vrai.

$x = 8$