Algèbre Exemples

$\frac{r}{r^{2} - 4} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{r}{r^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r$ et $b = 2$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Étape 1.2

Factorisez $r^{2} - 6 r + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r - 4}{r - 4}$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(r + 2) (r - 2) (r - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ par $\frac{r - 4}{r - 4}$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ par $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r - 4) (r - 2) (r + 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(r - 4) (r - 2) (r + 2)$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{r (r - 4) + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r \cdot r + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Étape 6.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{r^{2} + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Étape 6.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $r$ .

$\frac{r^{2} - 4 \cdot r + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Étape 6.4

Additionnez $- 4 r$ et $r$ .

$\frac{r^{2} - 3 r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Étape 6.5

Factorisez $r^{2} - 3 r + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 6.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $r - 2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r - 1}{(r + 2) (r - 4)}$