Algèbre Exemples

${(\frac{1}{25})}^{- 16 x - 62} = 5^{- 2 x^{2} - 2}$

Étape 1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{25}$ .

$\frac{1^{- 16 x - 62}}{25^{- 16 x - 62}} = 5^{- 2 x^{2} - 2}$

Étape 2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{25^{- 16 x - 62}} = 5^{- 2 x^{2} - 2}$

Étape 3

Placez $25^{- 16 x - 62}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$25^{- (- 16 x - 62)} = 5^{- 2 x^{2} - 2}$

Étape 4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$5^{2 (- (- 16 x - 62))} = 5^{- 2 x^{2} - 2}$

Étape 5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 (- (- 16 x - 62)) = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $2 (- (- 16 x - 62))$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 2 (- (- 16 x - 62)) = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 (- (- 16 x - 62)) = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- (- 16 x) - - 62) = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6.1.4

Multipliez.

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$2 (16 x - - 62) = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 62$ .

$2 (16 x + 62) = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (16 x) + 2 \cdot 62 = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6.1.6

Multipliez.

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Étape 6.1.6.1

Multipliez $16$ par $2$ .

$32 x + 2 \cdot 62 = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $2$ par $62$ .

$32 x + 124 = - 2 x^{2} - 2$

Étape 6.2

Ajoutez $2 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$32 x + 124 + 2 x^{2} = - 2$

Étape 6.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$32 x + 124 + 2 x^{2} + 2 = 0$

Étape 6.4

Additionnez $124$ et $2$ .

$32 x + 2 x^{2} + 126 = 0$

Étape 6.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $32 x + 2 x^{2} + 126$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $32 x$ .

$2 (16 x) + 2 x^{2} + 126 = 0$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (16 x) + 2 (x^{2}) + 126 = 0$

Étape 6.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $126$ .

$2 (16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 63 = 0$

Étape 6.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (16 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (16 x + x^{2}) + 2 \cdot 63 = 0$

Étape 6.5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (16 x + x^{2}) + 2 \cdot 63$ .

$2 (16 x + x^{2} + 63) = 0$

Étape 6.5.2

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$2 (16 u + u^{2} + 63) = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez $16 u + u^{2} + 63$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.5.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $63$ et dont la somme est $16$ .

$7, 9$

Étape 6.5.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((u + 7) (u + 9)) = 0$

Étape 6.5.4

Factorisez.

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Étape 6.5.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 ((x + 7) (x + 9)) = 0$

Étape 6.5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 7) (x + 9) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 6.7

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 6.7.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 6.8

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 6.8.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 7) (x + 9) = 0$ vraie.

$x = - 7, - 9$