Algèbre Exemples

$\sec (750 °) - \csc (- 300 °)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Supprimez les rotations complètes de $360$ ° jusqu’à ce que l’angle tombe entre $0$ ° et $360$ °.

$\sec (30) - \csc (- 300 °)$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sec (30)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \csc (- 300 °)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\csc (- 300 °)$ est $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.5.1

Réécrivez $- 300 °$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \csc (\frac{- 600}{2})$

Étape 1.5.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (\frac{- 600}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sin (\frac{- 600}{2})}$

Étape 1.5.3

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (- 600)}{2}}}$

Étape 1.5.4

Change the $\pm$ to $+$ because cosecant is positive in the first quadrant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (- 600)}{2}}}$

Étape 1.5.5

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (- 600)}{2}}}$ .

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Étape 1.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.5.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $360$ ° jusqu’à ce que l’angle tombe entre $0$ ° et $360$ °.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (120)}{2}}}$

Étape 1.5.5.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (60)}{2}}}$

Étape 1.5.5.1.3

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{1}{2}}{2}}}$

Étape 1.5.5.1.4

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{1}{2})}{2}}}$

Étape 1.5.5.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}}}$

Étape 1.5.5.1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}}}$

Étape 1.5.5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + 1}{2}}{2}}}$

Étape 1.5.5.1.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{2}}}$

Étape 1.5.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.5.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Étape 1.5.5.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.5.2.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2 \cdot 2}}}$

Étape 1.5.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Étape 1.5.5.2.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Étape 1.5.5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.5.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Étape 1.5.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.5.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - (1 \frac{2}{\sqrt{3}})$

Étape 1.5.5.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.5.5.5

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.5.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.5.6.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.5.5.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.5.5.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.5.5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.5.5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.5.5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.5.5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.5.5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.5.5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.5.5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.5.5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.5.5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{0}{3}$

Étape 2.3

Divisez $0$ par $3$ .

$0$