Algèbre Exemples

$x = 2 + \sqrt{x^{2} - 1}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 + \sqrt{x^{2} - 1} = x$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x^{2} - 1} = x - 2$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 1}$ comme ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 1 = {(x - 2)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} - 1 = (x - 2) (x - 2)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Étape 4.3.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 4 x + 4$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} - 1$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} = - 1$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 4 x + 4 - x^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 4 x + 4 + 0 = - 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 4 x + 4$ et $0$ .

$- 4 x + 4 = - 1$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 1 - 4$

Étape 5.3.2

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$- 4 x = - 5$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 5$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 5$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 4}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{5}{4}$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x = 2 + \sqrt{x^{2} - 1}$ vrai.

$Aucune solution$