Algèbre Exemples

$x + y + x^{2} y + x y^{2} - x^{3} - y^{3}$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- x^{3} - y^{3} + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Étape 2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} - y^{3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) - y^{3} + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Étape 2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$- (x^{3}) - (y^{3}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (y^{3})$ .

$- (x^{3} + y^{3}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = y$ .

$- ((x + y) (x^{2} - x y + y^{2})) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Étape 4

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) + x^{2} y + x y^{2}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + 1 (x + y) + x y (x + y)$

Étape 5

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + y$ .

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) (1 + x y)$

Étape 6

Factorisez $x + y$ à partir de $- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) (1 + x y)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + y$ à partir de $- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ .

$(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2})) + (x + y) (1 + x y)$

Étape 6.2

Factorisez $x + y$ à partir de $(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2})) + (x + y) (1 + x y)$ .

$(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2}) + 1 + x y)$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$(x + y) (- 1 x^{2} - 1 (- x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(x + y) (- x^{2} - 1 (- x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Étape 8.2

Multipliez $- 1 (- x y)$ .

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x + y) (- x^{2} + 1 (x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Étape 8.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + y) (- x^{2} + x y - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Étape 8.3

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$(x + y) (- x^{2} + x y - y^{2} + 1 + x y)$

Étape 9

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$(x + y) (- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1)$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Réécrivez $- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1$ en forme factorisée.

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Étape 10.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + y) (- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1^{2})$

Étape 10.1.2

Réécrivez $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ comme ${(x - y)}^{2}$ .

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Étape 10.1.2.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Étape 10.1.2.2

Réécrivez le polynôme.

$(x + y) (- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) + 1^{2})$

Étape 10.1.2.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = y$ .

$(x + y) (- {(x - y)}^{2} + 1^{2})$

Étape 10.1.3

Remettez dans l’ordre $- {(x - y)}^{2}$ et $1^{2}$ .

$(x + y) (1^{2} - {(x - y)}^{2})$

Étape 10.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x - y$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - (x - y)))$

Étape 10.1.5

Simplifiez

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Étape 10.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x - - y))$

Étape 10.1.5.2

Multipliez $- - y$ .

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Étape 10.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x + 1 y))$

Étape 10.1.5.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x + y))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + y) (1 + x - y) (1 - x + y)$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $1 - x + y$ .

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Étape 11.1.1

Déplacez $1$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- x + y + 1)$

Étape 11.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) + y + 1)$

Étape 11.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) - 1 (- y) + 1)$

Étape 11.1.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) - 1 (- y) - 1 (- 1))$

Étape 11.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- y)$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x - y) - 1 (- 1))$

Étape 11.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x - y) - 1 (- 1)$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x - y - 1))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + y) (1 + x - y) \cdot - 1 (x - y - 1)$

Étape 12

Factorisez le signe négatif.

$- ((x + y) (1 + x - y) (x - y - 1))$

Étape 13

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + y) (1 + x - y) (x - y - 1)$