Algèbre Exemples

$S (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$

Étape 1

Comme $t$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t = S t$

Étape 2

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$\frac{t^{3}}{3} - 3.5 t^{2} + 10 t = S t$

Étape 3

Soustrayez $S t$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{t^{3}}{3} - 3.5 t^{2} + 10 t - S t = 0$

Étape 4

Factorisez $t$ à partir de $\frac{t^{3}}{3} - 3.5 t^{2} + 10 t - S t$ .

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Étape 4.1

Factorisez $t$ à partir de $\frac{t^{3}}{3}$ .

$t (\frac{t^{2}}{3}) - 3.5 t^{2} + 10 t - S t = 0$

Étape 4.2

Factorisez $t$ à partir de $- 3.5 t^{2}$ .

$t (\frac{t^{2}}{3}) + t (- 3.5 t) + 10 t - S t = 0$

Étape 4.3

Factorisez $t$ à partir de $10 t$ .

$t (\frac{t^{2}}{3}) + t (- 3.5 t) + t \cdot 10 - S t = 0$

Étape 4.4

Factorisez $t$ à partir de $- S t$ .

$t (\frac{t^{2}}{3}) + t (- 3.5 t) + t \cdot 10 + t (- S) = 0$

Étape 4.5

Factorisez $t$ à partir de $t \frac{t^{2}}{3} + t (- 3.5 t)$ .

$t (\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t) + t \cdot 10 + t (- S) = 0$

Étape 4.6

Factorisez $t$ à partir de $t (\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t) + t \cdot 10$ .

$t (\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10) + t (- S) = 0$

Étape 4.7

Factorisez $t$ à partir de $t (\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10) + t (- S)$ .

$t (\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10 - S) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10 - S = 0$

Étape 6

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 7

Définissez $\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10 - S$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 7.1

Définissez $\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10 - S$ égal à $0$ .

$\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10 - S = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10 - S = 0$ pour $t$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{t^{2}}{3}) + 3 (- 3.5 t) + 3 \cdot 10 + 3 (- S) = 0$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{t^{2}}{3}) + 3 (- 3.5 t) + 3 \cdot 10 + 3 (- S) = 0$

Étape 7.2.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$t^{2} + 3 (- 3.5 t) + 3 \cdot 10 + 3 (- S) = 0$

Étape 7.2.1.2.2

Multipliez $- 3.5$ par $3$ .

$t^{2} - 10.5 t + 3 \cdot 10 + 3 (- S) = 0$

Étape 7.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $10$ .

$t^{2} - 10.5 t + 30 + 3 (- S) = 0$

Étape 7.2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$t^{2} - 10.5 t + 30 - 3 S = 0$

Étape 7.2.1.3

Déplacez $30$ .

$t^{2} - 10.5 t - 3 S + 30 = 0$

Étape 7.2.1.4

Déplacez $- 10.5 t$ .

$t^{2} - 3 S - 10.5 t + 30 = 0$

Étape 7.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10.5$ et $c = - 3 S + 30$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{10.5 \pm \sqrt{{(- 10.5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 S + 30))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4

Simplifiez

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Étape 7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1.1

Élevez $- 10.5$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{110.25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 S + 30)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{110.25 - 4 \cdot (- 3 S + 30)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{110.25 - 4 (- 3 S) - 4 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{110.25 + 12 S - 4 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $30$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{110.25 + 12 S - 120}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.6

Soustrayez $120$ de $110.25$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{12 S - 9.75}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7

Factorisez $0.75$ à partir de $12 S - 9.75$ .

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Étape 7.2.4.1.7.1

Factorisez $0.75$ à partir de $12 S$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{0.75 (16 S) - 9.75}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7.2

Factorisez $0.75$ à partir de $- 9.75$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{0.75 (16 S) + 0.75 (- 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7.3

Factorisez $0.75$ à partir de $0.75 (16 S) + 0.75 (- 13)$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{0.75 (16 S - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.8

Réécrivez $0.75 (16 S - 13)$ comme ${({0.93060485}^{2})}^{2} (16 S - 13)$ .

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Étape 7.2.4.1.8.1

Réécrivez $0.75$ comme ${0.8660254}^{2}$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{{0.8660254}^{2} (16 S - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.8.2

Réécrivez $0.8660254$ comme ${0.93060485}^{2}$ .

$t = \frac{10.5 \pm \sqrt{{({0.93060485}^{2})}^{2} (16 S - 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{10.5 \pm {0.93060485}^{2} \sqrt{16 S - 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.10

Élevez $0.93060485$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{10.5 \pm 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{10.5 \pm 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = \frac{10.5 + 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$

$t = \frac{10.5 - 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$

$t = \frac{10.5 + 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$

$t = \frac{10.5 - 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$

$t = \frac{10.5 + 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$

$t = \frac{10.5 - 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t (\frac{t^{2}}{3} - 3.5 t + 10 - S) = 0$ vraie.

$t = 0$

$t = \frac{10.5 + 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$

$t = \frac{10.5 - 0.8660254 \sqrt{16 S - 13}}{2}$