Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{(\sqrt{5} - \sqrt{15}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{75} - \sqrt{75} - {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 10}$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 10}$

Étape 2.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 10}$

Étape 2.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5 \cdot 15}}{- 10}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5 \cdot 15}}{- 10}$

Étape 3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5 \cdot 15}}{- 10}$

Étape 3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 + \sqrt{5 \cdot 15}}{- 10}$

Étape 3.4

Multipliez $5$ par $15$ .

$\frac{5 + \sqrt{75}}{- 10}$

Étape 3.5

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 (3)}}{- 10}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{5 + \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{- 10}$

Étape 3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 + 5 \sqrt{3}}{- 10}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $5 + 5 \sqrt{3}$ et $- 10$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 \sqrt{3}}{- 10}$

Étape 4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (\sqrt{3})}{- 10}$

Étape 4.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 1 + 5 (\sqrt{3})$ .

$\frac{5 \cdot (1 + \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 4.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10$ .

$\frac{5 \cdot (1 + \sqrt{3})}{5 (- 2)}$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot (1 + \sqrt{3})}{5 \cdot - 2}$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$- 1.36602540 \dots$