Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ comme une équation.

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $1 + e^{- y}$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + e^{- y}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $x (1 + e^{- y})$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x e^{- y}$ des deux côtés de l’équation.

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

Étape 3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

Étape 3.4.3

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $- e^{- y} - x e^{- y}$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $- e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $- x e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ .

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ par $- 1 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ par $- 1 - x$ .

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1 - x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $e^{- y}$ par $1$ .

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Étape 3.4.4.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Étape 3.4.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Étape 3.4.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (x)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Étape 3.4.4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Étape 3.4.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 3.4.6

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.6.1

Développez $\ln (e^{- y})$ en déplaçant $- y$ hors du logarithme.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 3.4.6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 3.4.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Étape 3.4.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.7.1

Simplifiez $\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ .

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Étape 3.4.7.1.1

Divisez la fraction $\frac{x - 1}{1 + x}$ en deux fractions.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

Étape 3.4.7.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

Étape 3.4.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

Étape 3.4.7.1.4

Multipliez $- - \frac{1}{1 + x}$ .

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Étape 3.4.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

Étape 3.4.7.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Étape 3.4.8

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.8.1

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Étape 3.4.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Étape 3.4.8.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Étape 3.4.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.8.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Étape 3.4.8.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ comme $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ .

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.3.1

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $- - e^{- x}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.4.3.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.4.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.4.5

Additionnez $0$ et $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.4.6

Additionnez $e^{- x}$ et $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.6.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.6.3.2

Soustrayez $e^{- x}$ de $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.6.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

Étape 5.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

Étape 5.2.8

Multipliez $\frac{1 + e^{- x}}{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Étape 5.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Étape 5.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun de $1 + e^{- x}$ .

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Étape 5.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Étape 5.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

Étape 5.2.11

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

Étape 5.2.12

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

Étape 5.2.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.2.2

Multipliez $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ par $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.7

Réécrivez $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.7.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.7.4

Additionnez $x$ et $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.7.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.3.7.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.4.2.2

Multipliez $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ par $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Étape 5.3.4.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Étape 5.3.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Étape 5.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

Étape 5.3.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

Étape 5.3.4.7

Réécrivez $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.7.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Étape 5.3.4.7.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Étape 5.3.4.7.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$