Algèbre Exemples

$\frac{i - 2}{i - 1}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i - 2}{- 1 + 1 i}$ par le conjugué de $- 1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{i - 2}{- 1 + 1 i} \cdot \frac{- 1 - i}{- 1 - i}$

Étape 2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez.

$\frac{(i - 2) (- 1 - i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Développez $(i - 2) (- 1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i (- 1 - i) - 2 (- 1 - i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \cdot - 1 + i (- i) - 2 (- 1 - i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \cdot - 1 + i (- i) - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $i$ .

$\frac{- 1 \cdot i + i (- i) - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{- i + i (- i) - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i (- i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- i - (i^{1} i) - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- i - (i^{1} i^{1}) - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- i - i^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- i - i^{2} - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- i - - 1 - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- i + 1 - 2 \cdot - 1 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- i + 1 + 2 - 2 (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- i + 1 + 2 + 2 i}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- i$ et $2 i$ .

$\frac{1 + 2 + i}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 + i}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Développez $(- 1 + 1 i) (- 1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + i}{- 1 (- 1 - i) + 1 i (- 1 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- i) + 1 i (- 1 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- i) + 1 i \cdot - 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 - 1 (- i) + 1 i \cdot - 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 i + 1 i \cdot - 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 i - i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 i - i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $i$ de $1 i$ .

$\frac{3 + i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3 + i}{1 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 + i}{1 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + i}{2}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{3 + i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2}$