Algèbre Exemples

${(\frac{1}{216})}^{10 x + 16} = {(\frac{1}{6})}^{- 2 x^{2} + 8 x}$

Étape 1

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

${(\frac{1}{6})}^{3 (10 x + 16)} = {(\frac{1}{6})}^{- 2 x^{2} + 8 x}$

Étape 2

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$3 (10 x + 16) = - 2 x^{2} + 8 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 2 x^{2} + 8 x = 3 (10 x + 16)$

Étape 3.2

Simplifiez $3 (10 x + 16)$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{2} + 8 x = 3 (10 x) + 3 \cdot 16$

Étape 3.2.2

Multipliez.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$- 2 x^{2} + 8 x = 30 x + 3 \cdot 16$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$- 2 x^{2} + 8 x = 30 x + 48$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $30 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} + 8 x - 30 x = 48$

Étape 3.3.2

Soustrayez $30 x$ de $8 x$ .

$- 2 x^{2} - 22 x = 48$

Étape 3.4

Soustrayez $48$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} - 22 x - 48 = 0$

Étape 3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.5.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} - 22 x - 48$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 22 x - 48 = 0$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 22 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (11 x) - 48 = 0$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 48$ .

$- 2 x^{2} - 2 (11 x) - 2 \cdot 24 = 0$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (11 x)$ .

$- 2 (x^{2} + 11 x) - 2 \cdot 24 = 0$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} + 11 x) - 2 (24)$ .

$- 2 (x^{2} + 11 x + 24) = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 11 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $11$ .

$3, 8$

Étape 3.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 ((x + 3) (x + 8)) = 0$

Étape 3.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x + 3) (x + 8) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 3.7

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.8

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x + 3) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = - 3, - 8$