Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{27} - \sqrt{6}}{\sqrt{18} - 3}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)} - \sqrt{6}}{\sqrt{18} - 3}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} - \sqrt{6}}{\sqrt{18} - 3}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{18} - 3}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{9 (2)} - 3}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - 3}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - 3}$

Étape 3

Multipliez $\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - 3}$ par $\frac{3 \sqrt{2} + 3}{3 \sqrt{2} + 3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - 3} \cdot \frac{3 \sqrt{2} + 3}{3 \sqrt{2} + 3}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - 3}$ par $\frac{3 \sqrt{2} + 3}{3 \sqrt{2} + 3}$ .

$\frac{(3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} + 3)}{(3 \sqrt{2} - 3) (3 \sqrt{2} + 3)}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} + 3)}{9 {\sqrt{2}}^{2} + 9 \sqrt{2} - 9 \sqrt{2} - 9}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} + 3)}{9}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{2} + 3$ et $9$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $(3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} + 3)$ .

$\frac{3 ((3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + 1))}{9}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 ((3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + 1))}{3 (3)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 ((3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + 1))}{3 \cdot 3}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + 1)}{3}$

Étape 5

Développez $(3 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{3} (\sqrt{2} + 1) - \sqrt{6} (\sqrt{2} + 1)}{3}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{6} (\sqrt{2} + 1)}{3}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3 \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{2 \cdot 3} + 3 \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- \sqrt{6} \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{2 \cdot 6} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{3}$

Étape 6.2

Soustrayez $\sqrt{6}$ de $3 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 6.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} + \sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{6} + \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$2.21034343 \dots$