Algèbre Exemples

$y = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - \frac{1}{2} y^{3} + 6$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} y^{3} + 6 = x$ .

$- \frac{1}{2} y^{3} + 6 = x$

Étape 2.2

Associez $y^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{3}}{2} + 6 = x$

Étape 2.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y^{3}}{2} = x - 6$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y^{3}}{2}) = - 2 (x - 6)$

Étape 2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{y^{3}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Étape 2.5.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Étape 2.5.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

Étape 2.5.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y^{3} = - 2 (x - 6)$

Étape 2.5.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{3} = - 2 (x - 6)$

Étape 2.5.1.1.2.2

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = - 2 (x - 6)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Simplifiez $- 2 (x - 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = - 2 x - 2 \cdot - 6$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$y^{3} = - 2 x + 12$

Étape 2.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- 2 x + 12}$

Étape 2.7

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \sqrt[3]{2 (- x) + 12}$

Étape 2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y = \sqrt[3]{2 (- x) + 2 (6)}$

Étape 2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (6)$ .

$y = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (- (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) + 6)}$

Étape 4.2.3

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (- (- \frac{x^{3}}{2} + 6) + 6)}$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} - 1 \cdot 6 + 6)}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} - 6 + 6)}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + 0)}$

Étape 4.2.5.3

Additionnez $\frac{x^{3}}{2}$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2})}$

Étape 4.2.6

Associez $2$ et $\frac{x^{3}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Étape 4.2.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

Réduisez l’expression $\frac{2 x^{3}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

Étape 4.2.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Étape 4.2.7.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 4.2.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 (- x + 6)})}^{3} + 6$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2 (- x + 6)}}^{3}$ comme $2 (- x + 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ comme ${(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {({(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Étape 4.3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Étape 4.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{3}{3}} + 6$

Étape 4.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{3}{3}} + 6$

Étape 4.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Étape 4.3.3.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - 1 \cdot (- x + 6) + 6$

Étape 4.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 6 + 6$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $- 1 (- x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = 1 x - 1 \cdot 6 + 6$

Étape 4.3.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x - 1 \cdot 6 + 6$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x - 6 + 6$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 6 + 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$