Algèbre Exemples

$\frac{x^{3}}{8} - 5 = 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{3}}{8} = 3 + 5$

Étape 1.2

Additionnez $3$ et $5$ .

$\frac{x^{3}}{8} = 8$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 \frac{x^{3}}{8} = 8 \cdot 8$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{x^{3}}{8} = 8 \cdot 8$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = 8 \cdot 8$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$x^{3} = 64$

Étape 4

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 64 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Étape 5.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 7

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 8

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 8.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$