Algèbre Exemples

$\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) + 1} = \frac{A - \cos (x)}{B + \cos (x)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{A - \cos (x)}{B + \cos (x)} = \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{A - \cos (x)}{B + \cos (x)} = \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) + 1}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $B + \cos (x)$ .

$\frac{A - \cos (x)}{B + \cos (x)} (B + \cos (x)) = \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) + 1} (B + \cos (x))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $B + \cos (x)$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{A - \cos (x)}{B + \cos (x)} (B + \cos (x)) = \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) + 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$A - \cos (x) = \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) + 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) + 1} (B + \cos (x))$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$A - \cos (x) = \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\sec (x) + 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$A - \cos (x) = \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$A - \cos (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.3.2

Associez.

$A - \cos (x) = \frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$A - \cos (x) = \frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$A - \cos (x) = \frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$A - \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$A - \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$A - \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) \cdot - 1}{1 + \cos (x) \cdot 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.6.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$A - \cos (x) = \frac{1 - 1 \cdot \cos (x)}{1 + \cos (x) \cdot 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.6.2

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$A - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x) \cdot 1} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$A - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} (B + \cos (x))$

Étape 3.2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$A - \cos (x) = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} B + \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cos (x)$

Étape 3.2.1.7.3

Associez $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ et $B$ .

$A - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) B}{1 + \cos (x)} + \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cos (x)$

Étape 3.2.1.7.4

Associez $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ et $\cos (x)$ .

$A - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) B}{1 + \cos (x)} + \frac{(1 - \cos (x)) \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 3.2.1.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) B + (1 - \cos (x)) \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 3.2.1.7.6

Factorisez $1 - \cos (x)$ à partir de $(1 - \cos (x)) B + (1 - \cos (x)) \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1.7.6.1

Factorisez $1 - \cos (x)$ à partir de $(1 - \cos (x)) B$ .

$A - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (B) + (1 - \cos (x)) \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 3.2.1.7.6.2

Factorisez $1 - \cos (x)$ à partir de $(1 - \cos (x)) \cos (x)$ .

$A - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (B) + (1 - \cos (x)) (\cos (x))}{1 + \cos (x)}$

Étape 3.2.1.7.6.3

Factorisez $1 - \cos (x)$ à partir de $(1 - \cos (x)) (B) + (1 - \cos (x)) (\cos (x))$ .

$A - \cos (x) = \frac{(1 - \cos (x)) (B + \cos (x))}{1 + \cos (x)}$

Étape 4

Ajoutez $\cos (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$A = \frac{(1 - \cos (x)) (B + \cos (x))}{1 + \cos (x)} + \cos (x)$