Algèbre Exemples

$\frac{\tan (θ) + \cos (θ) \csc (θ)}{\sec (θ) \csc (θ)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \csc (θ)}{\sec (θ) \csc (θ)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)}}{\sec (θ) \csc (θ)}$

Étape 1.3

Associez $\cos (θ)$ et $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}{\sec (θ) \csc (θ)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}{\frac{1}{\cos (θ)} \csc (θ)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}{\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\cos (θ)}$ par $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}{\frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} (\cos (θ) (\sin (θ))) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) \sin (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 7

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 8

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \cos (θ))$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \cos (θ))$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Étape 12

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ)$

Étape 13

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1}$

Étape 15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)$

Étape 16

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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