Algèbre Exemples

$(\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}) (\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3})$

Étape 1

Multipliez $(\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}) (\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Étape 1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Étape 2

Développez $(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6 + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.5

Multipliez $\sqrt{6} (i \sqrt{3})$ .

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Étape 3.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + \sqrt{3 \cdot 6} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{6 + \sqrt{18} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{6 + \sqrt{9 (2)} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{3^{2} \cdot 2} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.8

Multipliez $- i \sqrt{3} \sqrt{6}$ .

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Étape 3.1.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{6 \cdot 3} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{18} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.9

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.1.9.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{9 (2)} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.9.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{3^{2} \cdot 2} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i (3 \sqrt{2}) - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.11

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.12

Multipliez $- i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Étape 3.1.12.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Étape 3.1.12.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Étape 3.1.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Étape 3.1.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Étape 3.1.12.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{9}$

Étape 3.1.12.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{9}$

Étape 3.1.12.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{9}$

Étape 3.1.12.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Étape 3.1.13

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Étape 3.1.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 1 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Étape 3.1.15

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Étape 3.1.16

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.16.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Étape 3.1.16.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Étape 3.1.16.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Étape 3.1.16.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.16.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Étape 3.1.16.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{1}}{9}$

Étape 3.1.16.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3}{9}$

Étape 3.2

Additionnez $6$ et $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 9}{9}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $3 \sqrt{2} i$ .

$\frac{3 i \sqrt{2} - 3 i \sqrt{2} + 9}{9}$

Étape 3.4

Soustrayez $3 i \sqrt{2}$ de $3 i \sqrt{2}$ .

$\frac{0 + 9}{9}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $9$ .

$\frac{9}{9}$

Étape 4

Divisez $9$ par $9$ .

$1$