Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x + 5} = \sqrt{x + 2} + 1$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x + 5}}^{2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 5}$ comme ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + 5)}^{1} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$2 x + 5 = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$ .

$2 x + 5 = (\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} (\sqrt{x + 2} + 1) + 1 (\sqrt{x + 2} + 1)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 (\sqrt{x + 2} + 1)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x + 2}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x + 2}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ comme $x + 2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 5 = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{x + 2}$ par $1$ .

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{x + 2}$ par $1$ .

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} + 1$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x + 5 = x + 3 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2}$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{x + 2}$ et $\sqrt{x + 2}$ .

$2 x + 5 = x + 3 + 2 \sqrt{x + 2}$

Étape 3

Résolvez $2 \sqrt{x + 2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x + 3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5$ .

$x + 3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{x + 2}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5 - x$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5 - x - 3$

Étape 3.2.3

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$2 \sqrt{x + 2} = x + 5 - 3$

Étape 3.2.4

Soustrayez $3$ de $5$ .

$2 \sqrt{x + 2} = x + 2$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 2)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 2) = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 2 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 x + 8 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 x + 8 = (x + 2) (x + 2)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 8 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 5.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 5.3.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 4 = 4 x + 8$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 x = 8$

Étape 6.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 4 x + 4 - 4 x$ .

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$x^{2} + 0 + 4 = 8$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} + 4 = 8$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 8 - 4$

Étape 6.3.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$x^{2} = 4$

Étape 6.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 6.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$