Algèbre Exemples

$\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}} = 243 x^{6} y^{2}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $n - 1$ .

${\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}}}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}}$ comme ${(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}}$ .

${({(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Élevez $27$ à la puissance $5$ .

${({(14348907 {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $x^{9} y^{3}$ .

${({(14348907 ({(x^{9})}^{2} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{9})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(14348907 (x^{9 \cdot 2} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $9$ par $2$ .

${({(14348907 (x^{18} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(14348907 (x^{18} y^{3 \cdot 2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

${({(14348907 (x^{18} y^{6}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $14348907 x^{18} y^{6}$ .

${({(14348907 x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $14348907 x^{18}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} {(x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}}$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{18 \frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.6.2

Associez $18$ et $\frac{1}{n - 1}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.7

Multipliez les exposants dans ${(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}}$ .

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Étape 2.2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{6 \frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.7.2

Associez $6$ et $\frac{1}{n - 1}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{\frac{6}{n - 1}}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.9

Multipliez les exposants dans ${(14348907^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.1.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907^{\frac{1}{n - 1} (n - 1)} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.9.2

Annulez le facteur commun de $n - 1$ .

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Étape 2.2.1.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$14348907^{\frac{1}{n - 1} (n - 1)} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$14348907^{1} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.10

Évaluez l’exposant.

$14348907 {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.11

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.1.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{\frac{18}{n - 1} (n - 1)} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.11.2

Annulez le facteur commun de $n - 1$ .

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Étape 2.2.1.11.2.1

Annulez le facteur commun.

$14348907 x^{\frac{18}{n - 1} (n - 1)} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.11.2.2

Réécrivez l’expression.

$14348907 x^{18} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.12

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.1.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{\frac{6}{n - 1} (n - 1)} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.12.2

Annulez le facteur commun de $n - 1$ .

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Étape 2.2.1.12.2.1

Annulez le facteur commun.

$14348907 x^{18} y^{\frac{6}{n - 1} (n - 1)} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.2.1.12.2.2

Réécrivez l’expression.

$14348907 x^{18} y^{6} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $243 x^{6} y^{2}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = {(243 x^{6})}^{n - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $243 x^{6}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} {(x^{6})}^{n - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 (n - 1)} {(y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n + 6 \cdot - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.3.1.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} {(y^{2})}^{n - 1}$

Étape 2.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 (n - 1)}$

Étape 2.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n + 2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2}$

Étape 3

Résolvez $n$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2} = 14348907 x^{18} y^{6}$ .

$243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2} = 14348907 x^{18} y^{6}$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2})$ comme $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2})$ .

$\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6})$ comme $\ln (243^{n - 1}) + \ln (x^{6 n - 6})$ .

$\ln (243^{n - 1}) + \ln (x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.3.3

Développez $\ln (243^{n - 1})$ en déplaçant $n - 1$ hors du logarithme.

$(n - 1) \ln (243) + \ln (x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.3.4

Développez $\ln (x^{6 n - 6})$ en déplaçant $6 n - 6$ hors du logarithme.

$(n - 1) \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.3.5

Développez $\ln (y^{2 n - 2})$ en déplaçant $2 n - 2$ hors du logarithme.

$(n - 1) \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$n \ln (243) - 1 \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (243)$ comme $- \ln (243)$ .

$n \ln (243) - \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) - 6 \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) - 6 \ln (x) + 2 n \ln (y) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Déplacez $- 6 \ln (x)$ .

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.5.2

Déplacez $- \ln (243)$ .

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (243) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (243) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = 0$

Étape 3.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.7.1

Ajoutez $\ln (243)$ aux deux côtés de l’équation.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243)$

Étape 3.7.2

Ajoutez $6 \ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243) + 6 \ln (x)$

Étape 3.7.3

Ajoutez $2 \ln (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$

Étape 3.7.4

Ajoutez $\ln (14348907 x^{18} y^{6})$ aux deux côtés de l’équation.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.8

Factorisez $n$ à partir de $n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y)$ .

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Étape 3.8.1

Factorisez $n$ à partir de $n \ln (243)$ .

$n (\ln (243)) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.8.2

Factorisez $n$ à partir de $6 n \ln (x)$ .

$n (\ln (243)) + n (6 \ln (x)) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.8.3

Factorisez $n$ à partir de $2 n \ln (y)$ .

$n (\ln (243)) + n (6 \ln (x)) + n (2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.8.4

Factorisez $n$ à partir de $n (\ln (243)) + n (6 \ln (x))$ .

$n (\ln (243) + 6 \ln (x)) + n (2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.8.5

Factorisez $n$ à partir de $n (\ln (243) + 6 \ln (x)) + n (2 \ln (y))$ .

$n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Étape 3.9

Divisez chaque terme dans $n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$ par $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ et simplifiez.

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Étape 3.9.1

Divisez chaque terme dans $n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$ par $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

$\frac{n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y))}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} = \frac{\ln (243)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Étape 3.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

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Étape 3.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.9.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{\ln (243)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Étape 3.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Étape 3.9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Étape 3.9.3.3

Annulez le facteur commun de $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

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Étape 3.9.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Étape 3.9.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$n = 1 + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Étape 3.9.3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Étape 3.9.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$