Algèbre Exemples

$\frac{8 x}{x^{2} - 49} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{8 x}{x^{2} - 7^{2}} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 7, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 7) (x + 3) (x + 7)$ .

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 x (x + 3) + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 5 \cdot 7}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Étape 6.5

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

Étape 6.6

Additionnez $24 x$ et $5 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 29 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$