Algèbre Exemples

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x + 2) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{x - 1}$ par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 6.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x (x^{2} - 4) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.6

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 \cdot x + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.7

Additionnez $- 4 x$ et $x$ .

$\frac{x^{3} - 3 x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$