Algèbre Exemples

${(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1} = {(y^{- 3})}^{4}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{y^{2 x}}{y^{6}})}^{- 1})$ en déplaçant $- 1$ hors du logarithme.

$- \ln (\frac{y^{2 x}}{y^{6}}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 2.2

Réduisez l’expression $\frac{y^{2 x}}{y^{6}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Factorisez $y^{6}$ à partir de $y^{2 x}$ .

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6}}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 2.2.2

Multipliez par $1$ .

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6} \cdot 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \ln (\frac{y^{6} y^{2 x - 6}}{y^{6} \cdot 1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \ln (\frac{y^{2 x - 6}}{1}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 2.3

Divisez $y^{2 x - 6}$ par $1$ .

$- \ln (y^{2 x - 6}) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 2.4

Développez $\ln (y^{2 x - 6})$ en déplaçant $2 x - 6$ hors du logarithme.

$- ((2 x - 6) \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $- ((2 x - 6) \ln (y))$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x \ln (y) - 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x \ln (y)) - (- 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 3.1.3

Multipliez.

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x \ln (y)) - (- 6 \ln (y)) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln ({(y^{- 3})}^{4})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\ln ({(y^{- 3})}^{4})$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{- 3})}^{4}$ .

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (y^{- 3 \cdot 4})$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (y^{- 12})$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) = \ln (\frac{1}{y^{12}})$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- 2 x \ln (y) + 6 \ln (y) - \ln (\frac{1}{y^{12}}) = 0$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $6 \ln (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x \ln (y) - \ln (\frac{1}{y^{12}}) = - 6 \ln (y)$

Étape 6.2

Ajoutez $\ln (\frac{1}{y^{12}})$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$ par $- 2 \ln (y)$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x \ln (y) = - 6 \ln (y) + \ln (\frac{1}{y^{12}})$ par $- 2 \ln (y)$ .

$\frac{- 2 x \ln (y)}{- 2 \ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x \ln (y)}{- 2 \ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (y)$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \ln (y)}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 2$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6 \ln (y)$ .

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \ln (y)$ .

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 2 (3 \ln (y))}{- 2 \ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun de $\ln (y)$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.3.1.2.2

Divisez $3$ par $1$ .

$x = 3 + \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{- 2 \ln (y)}$

Étape 7.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 3 - \frac{\ln (\frac{1}{y^{12}})}{2 \ln (y)}$