Algèbre Exemples

$\log_{4} (x^{2} - x) = 1 + \log_{4} (5)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{4} (x^{2} - x) - \log_{4} (5) = 1$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - x}{5}) = 1$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x - x}{5}) = 1$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{5}) = 1$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$

Étape 4

Réécrivez $\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x - 1)}{5}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x (x - 1)}{5} = 4^{1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{5} = 4$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $5 \frac{x (x - 1)}{5}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

Étape 5.3.1.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x (x - 1) = 5 \cdot 4^{1}$

Étape 5.3.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Étape 5.3.1.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

Étape 5.3.1.1.1.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 5 \cdot 4^{1}$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x = 5 \cdot 4^{1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $5 \cdot 4^{1}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Évaluez l’exposant.

$x^{2} - x = 5 \cdot 4$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$x^{2} - x = 20$

Étape 5.4

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Étape 5.5

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 5.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Étape 5.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 5.7

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 5.7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 5.8

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 5, - 4$