Algèbre Exemples

$\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1} = y^{2} + 1$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}}^{2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}$ comme ${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{1} = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = {(y^{2} + 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(y^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(y^{2} + 1)}^{2}$ comme $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = (y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{2} + 1)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + 1 y^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = y^{4} + 2 y^{2} + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} = 2 y^{2} + 1$

Étape 3.1.2

Soustrayez $2 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} - 2 y^{2} = 1$

Étape 3.1.3

Associez les termes opposés dans $y^{4} + 2 y^{2} + 1 - y^{4} - 2 y^{2}$ .

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Étape 3.1.3.1

Soustrayez $y^{4}$ de $y^{4}$ .

$2 y^{2} + 1 + 0 - 2 y^{2} = 1$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $2 y^{2} + 1$ et $0$ .

$2 y^{2} + 1 - 2 y^{2} = 1$

Étape 3.1.3.3

Soustrayez $2 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$0 + 1 = 1$

Étape 3.1.3.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 = 1$

Étape 3.2

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $y$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$