Algèbre Exemples

$\frac{(\frac{1}{3} - \frac{i}{6})}{(\frac{2}{3} - \frac{i}{3})}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $6$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{3} - \frac{i}{6}}{\frac{2}{3} - \frac{i}{3}}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\frac{1}{3} - \frac{i}{6}}{\frac{2}{3} - \frac{i}{3}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{6 (\frac{1}{3} - \frac{i}{6})}{6 (\frac{2}{3} - \frac{i}{3})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 6 (- \frac{i}{6})}{6 (\frac{2}{3}) + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2) \frac{1}{3} + 6 (- \frac{i}{6})}{6 (\frac{2}{3}) + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 6 (- \frac{i}{6})}{6 (\frac{2}{3}) + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + 6 (- \frac{i}{6})}{6 (\frac{2}{3}) + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{i}{6}$ dans le numérateur.

$\frac{2 + 6 \frac{- i}{6}}{6 (\frac{2}{3}) + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 + 6 \frac{- i}{6}}{6 (\frac{2}{3}) + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - i}{6 (\frac{2}{3}) + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{2 - i}{3 (2) \frac{2}{3} + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - i}{3 \cdot 2 \frac{2}{3} + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - i}{2 \cdot 2 + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 - i}{4 + 6 (- \frac{i}{3})}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{i}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{2 - i}{4 + 6 \frac{- i}{3}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{2 - i}{4 + 3 (2) \frac{- i}{3}}$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - i}{4 + 3 \cdot 2 \frac{- i}{3}}$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - i}{4 + 2 (- i)}$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - i}{4 - 2 i}$

Étape 4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 - i}{4 - 2 i}$ par le conjugué de $4 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 - i}{4 - 2 i} \cdot \frac{4 + 2 i}{4 + 2 i}$

Étape 5

Multipliez.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{(2 - i) (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Développez $(2 - i) (4 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 + 2 i) - i (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 4 + 2 (2 i) - i (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 4 + 2 (2 i) - i \cdot 4 - i (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 + 2 (2 i) - i \cdot 4 - i (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{8 + 4 i - i \cdot 4 - i (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{8 + 4 i - 4 i - i (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.4

Multipliez $- i (2 i)$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 + 4 i - 4 i - 2 i i}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 + 4 i - 4 i - 2 (i^{1} i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 + 4 i - 4 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 + 4 i - 4 i - 2 i^{1 + 1}}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 + 4 i - 4 i - 2 i^{2}}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{8 + 4 i - 4 i - 2 \cdot - 1}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{8 + 4 i - 4 i + 2}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $8$ et $2$ .

$\frac{10 + 4 i - 4 i}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.3

Soustrayez $4 i$ de $4 i$ .

$\frac{10 + 0}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $10$ et $0$ .

$\frac{10}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Développez $(4 - 2 i) (4 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10}{4 (4 + 2 i) - 2 i (4 + 2 i)}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10}{4 \cdot 4 + 4 (2 i) - 2 i (4 + 2 i)}$

Étape 5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10}{4 \cdot 4 + 4 (2 i) - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{10}{16 + 4 (2 i) - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{10}{16 + 8 i - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{10}{16 + 8 i - 8 i - 2 i (2 i)}$

Étape 5.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{10}{16 + 8 i - 8 i - 4 i i}$

Étape 5.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{10}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 5.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{10}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 5.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 5.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{2}}$

Étape 5.3.2.9

Soustrayez $8 i$ de $8 i$ .

$\frac{10}{16 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 5.3.2.10

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{10}{16 - 4 i^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{10}{16 - 4 \cdot - 1}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{10}{16 + 4}$

Étape 5.3.4

Additionnez $16$ et $4$ .

$\frac{10}{20}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $10$ et $20$ .

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Étape 6.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\frac{10 (1)}{20}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20$ .

$\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 2}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$