Algèbre Exemples

$f (x) = 64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ ?

Étape 1

Factorisez $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.015625, \pm 0.5, \pm 0.03125, \pm 0.25, \pm 0.0625, \pm 0.125, \pm 125, \pm 1.953125, \pm 62.5, \pm 3.90625, \pm 31.25, \pm 7.8125, \pm 15.625, \pm 5, \pm 0.078125, \pm 2.5, \pm 0.15625, \pm 1.25, \pm 0.3125, \pm 0.625, \pm 25, \pm 0.390625, \pm 12.5, \pm 0.78125, \pm 6.25, \pm 1.5625, \pm 3.125$

Étape 1.3

Remplacez $1.25$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1.25$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $1.25$ dans le polynôme.

$64 \cdot {1.25}^{3} - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Étape 1.3.2

Élevez $1.25$ à la puissance $3$ .

$64 \cdot 1.953125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Étape 1.3.3

Multipliez $64$ par $1.953125$ .

$125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Étape 1.3.4

Élevez $1.25$ à la puissance $2$ .

$125 - 240 \cdot 1.5625 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 240$ par $1.5625$ .

$125 - 375 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Étape 1.3.6

Soustrayez $375$ de $125$ .

$- 250 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Étape 1.3.7

Multipliez $300$ par $1.25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 250$ et $375$ .

$125 - 125$

Étape 1.3.9

Soustrayez $125$ de $125$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $1.25$ est une racine connue, divisez le polynôme par $4 x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125}{4 x - 5}$

Étape 1.5

Divisez $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ par $4 x - 5$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$5$

$64 x^{3}$

$240 x^{2}$

$300 x$

$125$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $64 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

					$16 x^{2}$
	$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			+	$64 x^{3}$	-	$80 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $64 x^{3} - 80 x^{2}$

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 160 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					-	$160 x^{2}$	+	$200 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 160 x^{2} + 200 x$

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $100 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							+	$100 x$	-	$125$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $100 x - 125$

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$16 x^{2} - 40 x + 25$

Étape 1.6

Écrivez $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = (4 x - 5) (16 x^{2} - 40 x + 25)$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 25)$

Étape 2.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 5^{2})$

Étape 2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$40 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 5$

Étape 2.4

Réécrivez le polynôme.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 5 + 5^{2})$

Étape 2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 4 x$ et $b = 5$ .

$f (x) = (4 x - 5) {(4 x - 5)}^{2}$

Étape 3

Associez les facteurs similaires.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{1 + 2}$

Étape 3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x) = {(4 x - 5)}^{3}$