Algèbre Exemples

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$

Étape 1

La fonction parent est la forme la plus simple du type de fonction donné.

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Étape 2

La transformation de la première équation à la deuxième peut être déterminée en trouvant $a$ , $h$ et $k$ pour chaque équation.

$y = a b^{x - h} + k$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x + 2 \cdot - 3} + 1$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x - 6} + 1$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1$

Étape 3.1.2

Associez en une fraction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + \frac{3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Étape 3.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Réécrivez $3^{2 x - 6}$ comme ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $4^{2 x - 6}$ comme ${(4^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- {(4^{x - 3})}^{2} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Étape 3.2.3

Remettez dans l’ordre $- {(4^{x - 3})}^{2}$ et ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{{(3^{x - 3})}^{2} - {(4^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Étape 3.2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3^{x - 3}$ et $b = 4^{x - 3}$ .

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

Étape 4

Déterminez $a$ , $h$ et $k$ pour $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Étape 5

Déterminez $a$ , $h$ et $k$ pour $f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Étape 6

Le décalage horizontal dépend de la valeur de $h$ . Le décalage horizontal est décrit comme :

$f (x) = f (x + h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la gauche.

$f (x) = f (x - h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la droite.

Décalage horizontal : Unités $3$ de droite

Étape 7

Le décalage vertical dépend de la valeur de $k$ . Le décalage vertical est décrit comme :

$f (x) = f (x) + k$ - Le graphe est décalé de $k$ unités vers le haut.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Décalage vertical : $1$ unités vers le haut

Étape 8

Le signe de $a$ décrit la réflexion par rapport à l’abscisse. $- a$ signifie que le graphe est reflété par rapport à l’abscisse.

Réflexion par rapport à l’abscisse : Réfléchi

Étape 9

La valeur de $a$ décrit la compression ou l’étirement vertical du graphe.

$a > 1$ est un étirement vertical (le rend plus étroit)

$0 < a < 1$ est une compression verticale (l’élargit)

Compression verticale ou étirement : Aucune

Étape 10

Pour déterminer la transformée, comparez les deux fonctions et vérifiez s’il y a un décalage horizontal ou vertical, une réflexion par rapport à l’abscisse et s’il y a un étirement vertical.

Fonction parent : $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Décalage horizontal : Unités $3$ de droite

Décalage vertical : $1$ unités vers le haut

Réflexion par rapport à l’abscisse : Réfléchi

Compression verticale ou étirement : Aucune

Étape 11