Algèbre Exemples

$\frac{1}{2}$ , $\frac{7}{6}$ , $\frac{11}{6}$ , $\frac{5}{2}$

Étape 1

C’est une séquence arithmétique car il y a une différence commune entre chaque terme. Dans ce cas, l’ajout de $\frac{2}{3}$ au terme précédent dans la séquence produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Séquence arithmétique : $d = \frac{2}{3}$

Étape 2

C’est la formule d’une séquence arithmétique.

$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{1}{2}$ et $d = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} (n - 1)$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} n + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Étape 4.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $n$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2 n}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2 n}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2 n}{3} + \frac{- 2}{3}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{2 n}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 5

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 6

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{3}{6} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{3}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 7.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{3}{6} - \frac{2 \cdot 2}{6}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{3 - 2 \cdot 2}{6}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{3 - 4}{6}$

Étape 9.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$a_{n} = \frac{2 n}{3} + \frac{- 1}{6}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$a_{n} = \frac{2 n}{3} - \frac{1}{6}$