Algèbre Exemples

$- w^{2} + 14 w - 24 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- w^{2} + 14 w - 24 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- w^{2} + 14 w - 24$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- w^{2}$ .

$- (w^{2}) + 14 w - 24 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $14 w$ .

$- (w^{2}) - (- 14 w) - 24 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $- 24$ comme $- 1 (24)$ .

$- (w^{2}) - (- 14 w) - 1 \cdot 24 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (w^{2}) - (- 14 w)$ .

$- (w^{2} - 14 w) - 1 \cdot 24 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (w^{2} - 14 w) - 1 (24)$ .

$- (w^{2} - 14 w + 24) = 0$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $w^{2} - 14 w + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 12, - 2$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((w - 12) (w - 2)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (w - 12) (w - 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$w - 12 = 0$

$w - 2 = 0$

Étape 4

Définissez $w - 12$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 4.1

Définissez $w - 12$ égal à $0$ .

$w - 12 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$w = 12$

Étape 5

Définissez $w - 2$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 5.1

Définissez $w - 2$ égal à $0$ .

$w - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$w = 2$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (w - 12) (w - 2) = 0$ vraie.

$w = 12, 2$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$w < 2$

$2 < w < 12$

$w > 12$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $w < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $w < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$w = 0$

Étape 8.1.2

Remplacez $w$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(0)}^{2} + 14 (0) - 24 > 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 24$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < w < 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < w < 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$w = 7$

Étape 8.2.2

Remplacez $w$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(7)}^{2} + 14 (7) - 24 > 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $w > 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $w > 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$w = 14$

Étape 8.3.2

Remplacez $w$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(14)}^{2} + 14 (14) - 24 > 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $- 24$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$w < 2$ Faux

$2 < w < 12$ Vrai

$w > 12$ Faux

$w < 2$ Faux

$2 < w < 12$ Vrai

$w > 12$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < w < 12$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 < w < 12$

Notation d’intervalle :

$(2, 12)$

Étape 11