Algèbre Exemples

$\log_{9} (4 x - 5) < \log_{9} (- 2 x + 1)$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{9} (4 x - 5) = \log_{9} (- 2 x + 1)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$4 x - 5 = - 2 x + 1$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x - 5 + 2 x = 1$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$6 x - 5 = 1$

Étape 2.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 1 + 5$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$6 x = 6$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 6$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 6$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1

Divisez $6$ par $6$ .

$x = 1$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{9} (\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$4 x - 5 = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 5$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 3.2.5

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{5}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{5}{4}, \frac{1}{2}$

Étape 3.2.8

Déterminez le domaine de $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ .

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Étape 3.2.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 3.2.8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.8.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 3.2.8.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 3.2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Étape 3.2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.2.10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (0) - 5}{- 2 \cdot 0 + 1} > 0$

Étape 3.2.10.1.3

Le côté gauche $- 5$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 3.2.10.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (1) - 5}{- 2 \cdot 1 + 1} > 0$

Étape 3.2.10.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.2.10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (4) - 5}{- 2 \cdot 4 + 1} > 0$

Étape 3.2.10.3.3

Le côté gauche $- 1.\overline{571428}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Vrai

$x > \frac{5}{4}$ Faux

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$ Vrai

$x > \frac{5}{4}$ Faux

Étape 3.2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{4}$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x - 5}{- 2 x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$1 < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{9} (4 (0) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0 + 1)$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.75$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $0.75$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{9} (4 (0.75) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 0.75 + 1)$

Étape 5.2.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.2.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.12$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $1.12$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{9} (4 (1.12) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 1.12 + 1)$

Étape 5.3.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.3.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{9} (4 (4) - 5) < \log_{9} (- 2 \cdot 4 + 1)$

Étape 5.4.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.4.3.2

Le côté droit n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 1$ Faux

$1 < x < \frac{5}{4}$ Faux

$x > \frac{5}{4}$ Faux

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 1$ Faux

$1 < x < \frac{5}{4}$ Faux

$x > \frac{5}{4}$ Faux

Étape 6

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution