Algèbre Exemples

$\frac{5 y^{2}}{1 - y^{2}} \div (1 - \frac{1}{1 - y})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\frac{5 y^{2}}{1 - y^{2}}}{1 - \frac{1}{1 - y}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5 y^{2}}{1 - y^{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - y}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{5 y^{2}}{1^{2} - y^{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - y}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - y}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{1 - y}{1 - y} - \frac{1}{1 - y}}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{1 - y - 1}{1 - y}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{- y + 1 - 1}{- y + 1}}$

Étape 4.4

Réécrivez $\frac{- y + 1 - 1}{- y + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{- y + 0}{- y + 1}}$

Étape 4.4.2

Additionnez $- y$ et $0$ .

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{\frac{- y}{- y + 1}}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{1}{- \frac{y}{- y + 1}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{5 y^{2} \cdot 1}{(1 + y) (1 - y) (- \frac{y}{- y + 1})}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{5 y^{2} \cdot (- 1 (- 1))}{(1 + y) (1 - y) (- \frac{y}{- y + 1})}$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(5 y^{2}) \cdot - 1}{(1 + y) (1 - y) (- \frac{y}{- y + 1})}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y) (- \frac{y}{- y + 1})}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- - \frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y) \cdot - 1 \frac{y}{- y + 1}}$

Étape 6.2

Factorisez le signe négatif.

$- - \frac{5 y^{2}}{- (1 + y) (1 - y) \frac{y}{- y + 1}}$

Étape 7

Factorisez $\frac{y}{- y + 1}$ à partir de $\frac{5 y^{2}}{- (1 + y) (1 - y) \frac{y}{- y + 1}}$ .

$- - (\frac{- y + 1}{y} \cdot \frac{5 y^{2}}{- (1 + y) (1 - y)})$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.1

Factorisez $y$ à partir de $5 y^{2}$ .

$- - (\frac{- y + 1}{y} \cdot \frac{y (5 y)}{- (1 + y) (1 - y)})$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$- - (\frac{- y + 1}{y} \cdot \frac{y (5 y)}{- (1 + y) (1 - y)})$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$- - ((- y + 1) \frac{5 y}{- (1 + y) (1 - y)})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - ((- y + 1) (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$- - (- y (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}) + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 11

Multipliez $- y (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)})$ .

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- - (1 y \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 11.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$- - (y \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 11.3

Associez $y$ et $\frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$- - (\frac{y (5 y)}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 11.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- - (\frac{5 (y^{1} y)}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 11.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- - (\frac{5 (y^{1} y^{1})}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 11.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- - (\frac{5 y^{1 + 1}}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 11.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- - (\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} + 1 (- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}))$

Étape 12

Multipliez $- \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)}$ par $1$ .

$- - (\frac{5 y^{2}}{(1 + y) (1 - y)} - \frac{5 y}{(1 + y) (1 - y)})$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- - \frac{5 y^{2} - 5 y}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 14

Factorisez $5 y$ à partir de $5 y^{2} - 5 y$ .

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Étape 14.1

Factorisez $5 y$ à partir de $5 y^{2}$ .

$- - \frac{5 y (y) - 5 y}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 14.2

Factorisez $5 y$ à partir de $- 5 y$ .

$- - \frac{5 y (y) + 5 y (- 1)}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 14.3

Factorisez $5 y$ à partir de $5 y (y) + 5 y (- 1)$ .

$- - \frac{5 y (y - 1)}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 15

Annulez le facteur commun à $y - 1$ et $1 - y$ .

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Étape 15.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$- - \frac{5 y (- 1 (- y) - 1)}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 15.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- - \frac{5 y (- 1 (- y) - 1 (1))}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 15.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - 1 (1)$ .

$- - \frac{5 y (- 1 (- y + 1))}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 15.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- - \frac{5 y (- 1 (- y + 1))}{(1 + y) (- y + 1)}$

Étape 15.5

Annulez le facteur commun.

$- - \frac{5 y (- 1 (- y + 1))}{(1 + y) (- y + 1)}$

Étape 15.6

Réécrivez l’expression.

$- - \frac{5 y \cdot (- 1)}{1 + y}$

Étape 16

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- - \frac{- 5 y}{1 + y}$

Étape 16.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - - \frac{5 y}{1 + y}$

Étape 17

Multipliez $- - \frac{5 y}{1 + y}$ .

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Étape 17.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (1 \frac{5 y}{1 + y})$

Étape 17.2

Multipliez $\frac{5 y}{1 + y}$ par $1$ .

$- \frac{5 y}{1 + y}$