Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}) = 2 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3})$ .

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Étape 3.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(y - 1)}^{3}$ .

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 1)}^{3} = 2 x$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 1 = \sqrt[3]{2 x}$

Étape 3.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt[3]{2 x} + 1$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})} + 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}} + 1$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{2}{2}$ et ${(x - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

Étape 5.2.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1

Réduisez l’expression $\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

Étape 5.2.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{{(x - 1)}^{3}}{1}} + 1$

Étape 5.2.3.3.2

Divisez ${(x - 1)}^{3}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} + 1$

Étape 5.2.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x - 1 + 1$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{2 x} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {((\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1)}^{3}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x} + 0)}^{3}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\sqrt[3]{2 x}$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt[3]{2 x}}^{3}$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{2 x}}^{3}$ comme $2 x$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$