Algèbre Exemples

$25^{- 6 x - 69} = {(\frac{1}{5})}^{3 x^{2} + 3}$

Étape 1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$25^{- 6 x - 69} = \frac{1^{3 x^{2} + 3}}{5^{3 x^{2} + 3}}$

Étape 2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$25^{- 6 x - 69} = \frac{1}{5^{3 x^{2} + 3}}$

Étape 3

Placez $5^{3 x^{2} + 3}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$25^{- 6 x - 69} = 5^{- (3 x^{2} + 3)}$

Étape 4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$5^{2 (- 6 x - 69)} = 5^{- (3 x^{2} + 3)}$

Étape 5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 (- 6 x - 69) = - (3 x^{2} + 3)$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $2 (- 6 x - 69)$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 2 (- 6 x - 69) = - (3 x^{2} + 3)$

Étape 6.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 (- 6 x - 69) = - (3 x^{2} + 3)$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- 6 x) + 2 \cdot - 69 = - (3 x^{2} + 3)$

Étape 6.1.4

Multipliez.

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$- 12 x + 2 \cdot - 69 = - (3 x^{2} + 3)$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 69$ .

$- 12 x - 138 = - (3 x^{2} + 3)$

Étape 6.2

Simplifiez $- (3 x^{2} + 3)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 12 x - 138 = - (3 x^{2}) - 1 \cdot 3$

Étape 6.2.2

Multipliez.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 12 x - 138 = - 3 x^{2} - 1 \cdot 3$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 12 x - 138 = - 3 x^{2} - 3$

Étape 6.3

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 12 x - 138 + 3 x^{2} = - 3$

Étape 6.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- 12 x - 138 + 3 x^{2} + 3 = 0$

Étape 6.5

Additionnez $- 138$ et $3$ .

$- 12 x + 3 x^{2} - 135 = 0$

Étape 6.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x + 3 x^{2} - 135$ .

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Étape 6.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$3 (- 4 x) + 3 x^{2} - 135 = 0$

Étape 6.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (- 4 x) + 3 (x^{2}) - 135 = 0$

Étape 6.6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 135$ .

$3 (- 4 x) + 3 x^{2} + 3 \cdot - 45 = 0$

Étape 6.6.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 4 x) + 3 x^{2}$ .

$3 (- 4 x + x^{2}) + 3 \cdot - 45 = 0$

Étape 6.6.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 4 x + x^{2}) + 3 \cdot - 45$ .

$3 (- 4 x + x^{2} - 45) = 0$

Étape 6.6.2

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$3 (- 4 u + u^{2} - 45) = 0$

Étape 6.6.3

Factorisez $- 4 u + u^{2} - 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.6.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 45$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 9, 5$

Étape 6.6.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((u - 9) (u + 5)) = 0$

Étape 6.6.4

Factorisez.

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Étape 6.6.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$3 ((x - 9) (x + 5)) = 0$

Étape 6.6.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 9) (x + 5) = 0$

Étape 6.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 6.8

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 6.8.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 6.9

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.9.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 6.9.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 9) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 9, - 5$