Algèbre Exemples

$6 \sqrt{8 x - 32} - 13 \leq 11$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $6 \sqrt{8 x - 32}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6 \sqrt{8 x - 32} \leq 11 + 13$

Étape 1.2

Additionnez $11$ et $13$ .

$6 \sqrt{8 x - 32} \leq 24$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(6 \sqrt{8 x - 32})}^{2} \leq 24^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 x - 32}$ comme ${(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 24^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(6 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 24^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$36 {({(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 24^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(8 x - 32)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 24^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 {(8 x - 32)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 24^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 {(8 x - 32)}^{1} \leq 24^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$36 (8 x - 32) \leq 24^{2}$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$36 (8 x) + 36 \cdot - 32 \leq 24^{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez.

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Étape 3.2.1.6.1

Multipliez $8$ par $36$ .

$288 x + 36 \cdot - 32 \leq 24^{2}$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $36$ par $- 32$ .

$288 x - 1152 \leq 24^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$288 x - 1152 \leq 576$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $1152$ aux deux côtés de l’inégalité.

$288 x \leq 576 + 1152$

Étape 4.1.2

Additionnez $576$ et $1152$ .

$288 x \leq 1728$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $288 x \leq 1728$ par $288$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $288 x \leq 1728$ par $288$ .

$\frac{288 x}{288} \leq \frac{1728}{288}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $288$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{288 x}{288} \leq \frac{1728}{288}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{1728}{288}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $1728$ par $288$ .

$x \leq 6$

Étape 5

Déterminez le domaine de $12 \sqrt{2 (x - 4)} - 24$ .

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Étape 5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (x - 4)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (x - 4) \geq 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 4) \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 4) \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 4)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Divisez $x - 4$ par $1$ .

$x - 4 \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x - 4 \geq 0$

Étape 5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 4$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[4, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$6 \sqrt{8 (0) - 32} - 13 \leq 11$

Étape 7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$6 \sqrt{8 (5) - 32} - 13 \leq 11$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $3.97056274$ est inférieur au côté droit $11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$6 \sqrt{8 (8) - 32} - 13 \leq 11$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $20.94112549$ est supérieur au côté droit $11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 4$ Faux

$4 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < 4$ Faux

$4 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$4 \leq x \leq 6$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$4 \leq x \leq 6$

Notation d’intervalle :

$[4, 6]$

Étape 10