Algèbre Exemples

$(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$

Étape 1

Développez $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$1 + \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.3

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.4

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.9

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 2.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.9.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.10

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.12

Multipliez $3$ par $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 2.1.13

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 2.1.13.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Étape 2.1.13.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Étape 2.1.13.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.13.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 2.1.14

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{1}$

Étape 2.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 1 \cdot 3$

Étape 2.1.15

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Étape 2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Étape 2.2.3

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Étape 2.2.4

Additionnez $- \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{2} + 0 - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Étape 2.2.5

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $0$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Étape 2.2.6

Additionnez $- \sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{2} + 0$

Étape 2.2.7

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $0$ .

$2 \sqrt{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$2.82842712 \dots$