Algèbre Exemples

$\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 2) (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Étape 1.2

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$\log (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Étape 1.3.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\log (x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 1 - \log (2)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log (x^{2} - 4) + \log (2) = 1$

Étape 3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x^{2} - 4) \cdot 2) = 1$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x^{2} \cdot 2 - 4 \cdot 2) = 1$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\log (2 \cdot x^{2} - 4 \cdot 2) = 1$

Étape 5.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\log (2 x^{2} - 8) = 1$

Étape 6

Réécrivez $\log (2 x^{2} - 8) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} - 8$

Étape 7

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} - 8 = 10^{1}$ .

$2 x^{2} - 8 = 10$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 10 + 8$

Étape 7.2.2

Additionnez $10$ et $8$ .

$2 x^{2} = 18$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 18$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 18$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{18}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Divisez $18$ par $2$ .

$x^{2} = 9$

Étape 7.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 7.5

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 7.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 7.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 7.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 7.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$ vrai.

$x = 3$