Algèbre Exemples

$x^{2} + (y - {(\frac{4}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y - \frac{32}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

Étape 1.1.2

Ajoutez $\frac{32}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.1.3

Associez.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

Étape 1.2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $32$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $32 \cdot 1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

Étape 1.2.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Étape 1.2.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Étape 1.2.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.2.3.1.5

Multipliez $16$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez où l’expression $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Associez.

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Étape 6.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Étape 6.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Étape 6.1.3

Pour écrire $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}}$

Étape 6.1.4

Pour écrire $\frac{16}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.5.1

Multipliez $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $\frac{16}{x^{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

Étape 6.1.5.3

Réorganisez les facteurs de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.7.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.7.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.7.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.7.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.6

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.7.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.8.4

Réécrivez $32$ comme $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.8.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.8.6.1

Réécrivez $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ comme $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.8.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.9

Simplifiez

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.2.4

Réécrivez $32$ comme $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Étape 6.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Étape 6.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.6.1

Réécrivez $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ comme $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Étape 6.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.3

Développez $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

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Étape 6.3.1

Inversez $x^{4} - x^{2} - 32$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.4

Déplacez les parenthèses.

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 32$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Étape 6.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Étape 6.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Étape 6.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Étape 6.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{4} + 0 + 0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Étape 6.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Étape 6.9

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Étape 6.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Étape 6.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Étape 6.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Étape 6.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

$32$

Étape 6.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{32}{2 x^{2}}$

Étape 6.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 8