Algèbre Exemples

$3 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Étape 1.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Étape 1.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 (\frac{1}{2}) + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Étape 1.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4})))$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4})))$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}))$

Étape 1.3.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}))$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 1.4.2

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 1.4.3

Associez $5$ et $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 (i \sqrt{2})}{2})$

Étape 2

Développez $(\frac{3}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} (\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 i \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (5 i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{4} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{3 i \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3} (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.3.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{3 i \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{5 i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{3 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{4}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \cdot - 1 \sqrt{6}}{4}$

Étape 3.1.5.2

Associez les exposants.

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Étape 3.1.5.2.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- (15 \sqrt{6})}{4}$

Étape 3.1.5.2.2

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- 15 \sqrt{6}}{4}$

Étape 3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} - \frac{15 \sqrt{6}}{4}$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$ et $- \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ .

$- \frac{15 \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$