Algèbre Exemples

$f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ comme une équation.

$y = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}} = x$ .

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 y + 1)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez

$3 y + 1 = x^{3}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = x^{3} - 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{3} - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{3} - 1$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1}{3}$

Étape 5.2.4.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1}{3}$

Étape 5.2.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{(3 x + 1) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $3 x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} - 1 + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.3.4.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4.1.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$