Algèbre Exemples

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < | 10 - x^{2} |$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < | 10 - x^{2} |$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$10 - x^{2} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 10$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 10$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 10$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Divisez $- 10$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Étape 1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Étape 1.2.5

Écrivez $| x | \leq \sqrt{10}$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{10}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.2.7

Résolvez $- x \leq \sqrt{10}$ quand $x < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{10}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{10}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Étape 1.2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{10}$ comme $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Étape 1.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{10}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Étape 1.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.3

Dans la partie où $10 - x^{2}$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$

Étape 1.4

Déterminez le domaine de $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ et déterminez l’intersection avec $- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Déterminez le domaine de $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{10 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$10 - x^{2} \geq 0$

Étape 1.4.1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 10$

Étape 1.4.1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 10$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 10$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.3.1

Divisez $- 10$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Étape 1.4.1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Étape 1.4.1.2.5

Écrivez $| x | \leq \sqrt{10}$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.4.1.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.4.1.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.4.1.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.4.1.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.4.1.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{10}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.4.1.2.7

Résolvez $- x \leq \sqrt{10}$ quand $x < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{10}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{10}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Étape 1.4.1.2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{10}$ comme $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Étape 1.4.1.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{10}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Étape 1.4.1.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.4.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Étape 1.4.2

Déterminez l’intersection de $- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$ et $[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$ .

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.5

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$10 - x^{2} < 0$

Étape 1.6

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 10$

Étape 1.6.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 10$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 10$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.6.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.3.1

Divisez $- 10$ par $- 1$ .

$x^{2} > 10$

Étape 1.6.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{10}$

Étape 1.6.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{10}$

Étape 1.6.5

Écrivez $| x | > \sqrt{10}$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.6.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > \sqrt{10}$

Étape 1.6.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.6.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > \sqrt{10}$

Étape 1.6.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.6.6

Déterminez l’intersection de $x > \sqrt{10}$ et $x \geq 0$ .

$x > \sqrt{10}$

Étape 1.6.7

Divisez chaque terme dans $- x > \sqrt{10}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > \sqrt{10}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.6.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.6.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.6.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot \sqrt{10}$

Étape 1.6.7.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{10}$ comme $- \sqrt{10}$ .

$x < - \sqrt{10}$

Étape 1.6.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - \sqrt{10}$ ou $x > \sqrt{10}$

Étape 1.7

Dans la partie où $10 - x^{2}$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$

Étape 1.8

Déterminez le domaine de $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$ et déterminez l’intersection avec $x < - \sqrt{10} or x > \sqrt{10}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Déterminez le domaine de $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{10 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$10 - x^{2} \geq 0$

Étape 1.8.1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 10$

Étape 1.8.1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 10$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 10$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.8.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.8.1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 1.8.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.2.3.1

Divisez $- 10$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Étape 1.8.1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Étape 1.8.1.2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Étape 1.8.1.2.5

Écrivez $| x | \leq \sqrt{10}$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.8.1.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.8.1.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.8.1.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.8.1.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.8.1.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{10}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.8.1.2.7

Résolvez $- x \leq \sqrt{10}$ quand $x < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{10}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{10}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.8.1.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.8.1.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 1.8.1.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Étape 1.8.1.2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{10}$ comme $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Étape 1.8.1.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{10}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Étape 1.8.1.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 1.8.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Étape 1.8.2

Déterminez l’intersection de $x < - \sqrt{10} or x > \sqrt{10}$ et $[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$ .

$Aucune solution$

Étape 1.9

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2} & - \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{10 - x^{2}}$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{10 - x^{2}} < 10 - x^{2} - 6$

Étape 2.1.2

Soustrayez $6$ de $10$ .

$\sqrt{10 - x^{2}} < - x^{2} + 4$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10 - x^{2}}$ comme ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$10 - x^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Simplifiez ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Réécrivez ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ comme $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ .

$10 - x^{2} < (- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$

Étape 2.3.3.1.2

Développez $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)$

Étape 2.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)$

Étape 2.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$10 - x^{2} < 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3.1.4

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.3.1.3.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Étape 2.3.3.1.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Étape 2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 > 10 - x^{2}$

Étape 2.4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + x^{2} > 10$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 8 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} - 7 x^{2} + 16 > 10$

Étape 2.4.3

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 7 u + 16 = 10$

$u = x^{2}$

Étape 2.4.4

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 7 u + 16 - 10 = 0$

Étape 2.4.5

Soustrayez $10$ de $16$ .

$u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Étape 2.4.6

Factorisez $u^{2} - 7 u + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.4.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 2.4.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 6) (u - 1) = 0$

Étape 2.4.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 6 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 2.4.8

Définissez $u - 6$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.4.8.1

Définissez $u - 6$ égal à $0$ .

$u - 6 = 0$

Étape 2.4.8.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 6$

Étape 2.4.9

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.4.9.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 2.4.9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 2.4.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 6) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 6, 1$

Étape 2.4.11

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 6$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 2.4.12

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 6$

Étape 2.4.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.4.13.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 2.4.13.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.13.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6}$

Étape 2.4.13.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6}$

Étape 2.4.13.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 2.4.14

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 2.4.15

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.4.15.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 1$

Étape 2.4.15.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.4.15.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.4.15.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.15.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.4.15.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.4.15.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 2.4.16

La solution à $x^{4} - 7 x^{2} + 16 = 10$ est $x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$ .

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$

Étape 2.5

Déterminez le domaine de $\sqrt{10 - x^{2}} - 4 + x^{2}$ .

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Étape 2.5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{10 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$10 - x^{2} \geq 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 10$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 10$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 10$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $- 10$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Étape 2.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Étape 2.5.2.5

Écrivez $| x | \leq \sqrt{10}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.5.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.5.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{10}$

Étape 2.5.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.5.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Étape 2.5.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.5.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{10}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 2.5.2.7

Résolvez $- x \leq \sqrt{10}$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.5.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{10}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{10}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 2.5.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 2.5.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 2.5.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Étape 2.5.2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{10}$ comme $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Étape 2.5.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{10}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Étape 2.5.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 2.5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Étape 2.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$

$- \sqrt{6} < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{6}$

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Étape 2.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{10 - {(- 6)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 6)}^{2}$

Étape 2.7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.7.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{10 - {(- 3)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 3)}^{2}$

Étape 2.7.2.3

Le côté gauche $7$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{6} < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{6} < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.7.3.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{10 - {(- 2)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 2)}^{2}$

Étape 2.7.3.3

Le côté gauche $8.44948974$ n’est pas inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.7.4.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{10 - {(0)}^{2}} + 6 < 10 - {(0)}^{2}$

Étape 2.7.4.3

Le côté gauche $9.16227766$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.7.5

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \sqrt{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \sqrt{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.7.5.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{10 - {(2)}^{2}} + 6 < 10 - {(2)}^{2}$

Étape 2.7.5.3

Le côté gauche $8.44948974$ n’est pas inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.7.6

Testez une valeur sur l’intervalle $\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.6.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.7.6.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{10 - {(3)}^{2}} + 6 < 10 - {(3)}^{2}$

Étape 2.7.6.3

Le côté gauche $7$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.7.7

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.7.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.7.7.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{10 - {(6)}^{2}} + 6 < 10 - {(6)}^{2}$

Étape 2.7.7.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.7.8

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{10}$ Faux

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ Faux

$- \sqrt{6} < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < \sqrt{6}$ Faux

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ Faux

$x > \sqrt{10}$ Faux

$x < - \sqrt{10}$ Faux

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ Faux

$- \sqrt{6} < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < \sqrt{6}$ Faux

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ Faux

$x > \sqrt{10}$ Faux

Étape 2.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 1$

Étape 3

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 < x < 1$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < x < 1$

Notation d’intervalle :

$(- 1, 1)$

Étape 5