Algèbre Exemples

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) (\frac{3 x}{x^{2} + 6 x + 9})$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{3}{x} - \frac{x}{3}$ par $\frac{3 x}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) (3 x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{3}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{3}{x}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{x \cdot x}{3 x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 3$ .

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{3 x} - \frac{x \cdot x}{3 x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 \cdot 3 - x \cdot x}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{9 - x \cdot x}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{9 - (x \cdot x)}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{9 - x^{2}}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez $9 - x^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 3.5.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\frac{3^{2} - x^{2}}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Associez les exposants.

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Étape 3.6.1

Associez $\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 x}$ et $3$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3}{3 x} x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3}{3 x}$ et $x$ .

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Réduisez l’expression $\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) x}{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) x}{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Divisez $(3 + x) (3 - x)$ par $1$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.9

Développez $(3 + x) (3 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 - x) + x (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 - 3 x + 3 x - x \cdot x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{9 - 3 x + 3 x - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{9 + 0 - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10.3

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{9 - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3^{2} - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $3 + x$ et ${(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{(x + 3) (x + 3)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{(x + 3) (x + 3)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - x}{x + 3}$