Algèbre Exemples

$\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 4 x + 4 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$x > 2$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4 \geq 0$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4 \geq 0$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.6.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Vrai

$x > 2$ Vrai

$x < 2$ Vrai

$x > 2$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 2$ ou $x \geq 2$

Étape 2.8

Associez les intervalles.

Tous les nombres réels

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 6