Algèbre Exemples

$\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}}^{2} > 0^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ comme ${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 4 x + 4)}^{1} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 4 x + 4 > 0^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 > 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Étape 3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.3

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$x > 2$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Étape 5.1.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4} > 0$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Vrai

$x > 2$ Vrai

$x < 2$ Vrai

$x > 2$ Vrai

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 2$ ou $x > 2$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 2 or x > 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 8