Algèbre Exemples

$y = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$ .

$2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{3}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 4 x^{2} - 8 x - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) - 8 x - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$2 (x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 x^{4} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Étape 1.2.2.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 2 (4 x^{3})$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Étape 1.2.2.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (2 x^{2})$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Étape 1.2.2.1.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Étape 1.2.2.1.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 3) = 0$

Étape 1.2.2.2

Regroupez les termes.

$2 (4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 4 x$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 (4 x (x^{2}) - 4 x + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x$ .

$2 (4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.2.3.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$2 (4 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 (4 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez.

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Étape 1.2.2.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$2 (4 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.2.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.2.7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Étape 1.2.2.8

Factorisez $u^{2} + 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 1.2.2.8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.10

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.11

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$2 (4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.12

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $4 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

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Étape 1.2.2.12.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $4 x (x + 1) (x - 1)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.12.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (4 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 x + x^{2} + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.13

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (4 u + u^{2} + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.14

Factorisez $4 u + u^{2} + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.14.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.2.2.14.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x + 1) (x - 1) ((u + 1) (u + 3))) = 0$

Étape 1.2.2.15

Factorisez.

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Étape 1.2.2.15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x + 3))) = 0$

Étape 1.2.2.15.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 ((x + 1) (x - 1) (x + 1) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.16

Factorisez.

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Étape 1.2.2.16.1

Associez les exposants.

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Étape 1.2.2.16.1.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.16.1.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$2 ((x + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.16.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 ({(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.16.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 ({(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, - 3$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.5

Simplifiez $2 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 + 8 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 8 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $8$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.5.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.5.1.6

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 6$

Étape 2.2.5.1.7

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 - 6$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 6$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 6$

Étape 2.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 6$

Étape 2.2.5.2.4

Soustrayez $6$ de $0$ .

$y = - 6$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 6)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 1, 0), (1, 0), (- 3, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 6)$

Étape 4