Algèbre Exemples

$2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $| x - 1 |$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 | x - 1 | + 2 x + 7 = x^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 | x - 1 | + 7 = x^{2} - 2 x$

Étape 1.3

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ par $2$ .

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $| x - 1 |$ par $1$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x}{1} + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.3.1.1.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

Étape 3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 1 = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

Étape 4.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} = x - 1$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} - x = - 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$

Étape 4.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Étape 4.4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{2} - 4 x - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Étape 4.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{2}$ dans le numérateur.

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Étape 4.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

Étape 4.4.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 4 x - 7 = - 1 \cdot 2$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} - 4 x - 7 = - 2$

Étape 4.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 7 + 2 = 0$

Étape 4.6

Additionnez $- 7$ et $2$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Étape 4.7

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 4.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Étape 4.8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4.9

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.9.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.9.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.10

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.10.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 5, - 1$

Étape 4.12

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 1 = - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

Étape 4.13

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Étape 4.14

Simplifiez $- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$ .

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Étape 4.14.1

Réécrivez.

$0 + 0 - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Étape 4.14.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

Étape 4.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2}}{2} - - x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Étape 4.14.4

Simplifiez

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Étape 4.14.4.1

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.14.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 1 x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Étape 4.14.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x - - \frac{7}{2} = x - 1$

Étape 4.14.4.2

Multipliez $- - \frac{7}{2}$ .

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Étape 4.14.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + 1 (\frac{7}{2}) = x - 1$

Étape 4.14.4.2.2

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} = x - 1$

Étape 4.15

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.15.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x = - 1$

Étape 4.15.2

Associez les termes opposés dans $- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x$ .

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Étape 4.15.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 0 + \frac{7}{2} = - 1$

Étape 4.15.2.2

Additionnez $- \frac{x^{2}}{2}$ et $0$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2} = - 1$

Étape 4.16

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.16.1

Soustrayez $\frac{7}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 - \frac{7}{2}$

Étape 4.16.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 4.16.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 4.16.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2}$

Étape 4.16.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.16.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 2 - 7}{2}$

Étape 4.16.5.2

Soustrayez $7$ de $- 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

Étape 4.16.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{2} = - \frac{9}{2}$

Étape 4.17

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- x^{2} = - 9$

Étape 4.18

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.18.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 4.18.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.18.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 4.18.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 4.18.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.18.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Étape 4.19

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 4.20

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 4.20.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 4.20.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 4.21

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.21.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 4.21.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 4.21.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 4.22

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 1, 3, - 3$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$ vrai.

$x = 5, - 3$