Algèbre Exemples

$\tan^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$

Étape 1.3

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cot^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\sin (x)}{\cot (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cot (x)})}^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})}^{2}$

Étape 1.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.6

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.7.2

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.8.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{(\sin^{2} (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 1.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.1.3

Séparez les fractions.

$(\tan (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.1.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.1.5

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.2.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5.2.3

Séparez les fractions.

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Étape 5.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

Étape 5.2.5

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Étape 6

Développez $(\tan (x) + \sin (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\tan (x) - \sin (x) \tan (x))$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ .

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Étape 7.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ et $\sin (x) \tan (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 7.1.2

Additionnez $- \sin (x) \tan (x) \tan (x)$ et $\sin (x) \tan (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 7.1.3

Additionnez $\tan (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 7.2.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 7.2.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 7.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 7.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 7.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\tan^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.2.3

Multipliez $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

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Étape 7.2.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

Étape 7.2.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

Étape 7.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

Étape 7.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

Étape 7.2.4

Multipliez $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 7.2.4.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Étape 7.2.4.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Étape 7.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

Étape 7.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Étape 7.3

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez par $1$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Étape 7.3.2

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Étape 7.3.3

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$\tan^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x))$

Étape 8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 9

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos^{2} (x)$

Étape 10

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 11.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x)$