Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x^{2} + x - 12}{x - 2}}{\frac{3 x^{2} + 11 x - 4}{x^{2} - 4}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} + x - 12}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{3 x^{2} + 11 x - 4}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{3 x^{2} + 11 x - 4}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x^{2} + 11 x - 4}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} + 11 x - 4}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ et dont la somme est $b = 11$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} + 11 (x) - 4}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $11$ comme $- 1$ plus $12$

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} + (- 1 + 12) x - 4}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} - 1 x + 12 x - 4}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(3 x^{2} - 1 x) + 12 x - 4}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x (3 x - 1) + 4 (3 x - 1)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(3 x - 1) (x + 4)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x - 3) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(3 x - 1) (x + 4)}$

Étape 5.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $(3 x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 4) (3 x - 1)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 4) (3 x - 1)}$

Étape 5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x - 1}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{3 x - 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{3 x - 1}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$(x - 3) \frac{x + 2}{3 x - 1}$

Étape 7

Multipliez $x - 3$ par $\frac{x + 2}{3 x - 1}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{3 x - 1}$