Algèbre Exemples

$\sqrt{x + 2} + 1 = \sqrt{3 - x}$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x + 2} = \sqrt{3 - x} - 1$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x + 2}}^{2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 2)}^{1} = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$x + 2 = {(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{3 - x} - 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$ .

$x + 2 = (\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(\sqrt{3 - x} - 1) (\sqrt{3 - x} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} (\sqrt{3 - x} - 1) - 1 (\sqrt{3 - x} - 1)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{3 - x} - 1)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 = \sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{3 - x} \sqrt{3 - x}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{3 - x}$ à la puissance $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1} \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{3 - x}$ à la puissance $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1} {\sqrt{3 - x}}^{1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x + 2 = {\sqrt{3 - x}}^{2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3 - x}}^{2}$ comme $3 - x$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 - x}$ comme ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 = {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + 2 = {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x + 2 = {(3 - x)}^{1} + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$x + 2 = 3 - x + \sqrt{3 - x} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 3 - x - 1 \cdot \sqrt{3 - x} - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{3 - x}$ comme $- \sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - 1 \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{3 - x}$ comme $- \sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 2 = 3 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} + 1$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x + 2 = 4 - x - \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x}$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $\sqrt{3 - x}$ de $- \sqrt{3 - x}$ .

$x + 2 = 4 - x - 2 \sqrt{3 - x}$

Étape 4

Résolvez $- 2 \sqrt{3 - x}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 - x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2$ .

$4 - x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 2 \sqrt{3 - x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x - 2 \sqrt{3 - x} = x + 2 - 4$

Étape 4.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{3 - x} = x + 2 - 4 + x$

Étape 4.2.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$- 2 \sqrt{3 - x} = 2 x + 2 - 4$

Étape 4.2.4

Soustrayez $4$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{3 - x} = 2 x - 2$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 2 \sqrt{3 - x})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 - x}$ comme ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(3 - x)}^{1} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$4 (3 - x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 3 + 4 (- x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 + 4 (- x) = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$12 - 4 x = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(2 x - 2)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 2)}^{2}$ comme $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$12 - 4 x = (2 x - 2) (2 x - 2)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(2 x - 2) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 - 4 x = 2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 - 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 - 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$12 - 4 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$12 - 4 x = 4 x^{2} - 8 x + 4$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} - 8 x + 4 = 12 - 4 x$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 8 x + 4 + 4 x = 12$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 8 x$ et $4 x$ .

$4 x^{2} - 4 x + 4 = 12$

Étape 7.3

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 4 x + 4 - 12 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $12$ de $4$ .

$4 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Étape 7.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 4 x - 8$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- x) - 8 = 0$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- x) + 4 (- 2) = 0$

Étape 7.5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- x)$ .

$4 (x^{2} - x) + 4 (- 2) = 0$

Étape 7.5.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - x) + 4 (- 2)$ .

$4 (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 7.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 7.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7.8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{x + 2} + 1 = \sqrt{3 - x}$ vrai.

$x = - 1$